Veranstalter

Dozent

Prof. Dr. Volker Schmidt

Übungsleiter

Orkun Furat

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Zeit und Ort

Vorlesung
Fr, 8-10 Uhr, He18, E120

Übung
Mo, 16-18 Uhr (14-tägig), He18, E20

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Umfang

2V+1Ü

Leistungspunkte: 4

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Voraussetzungen

Die Veranstaltung eignet sich für Studenten mit Vorkenntnissen aus dem Grundkurs Elementare WR und Statistik.

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Zielgruppe

Die Vorlesung wendet sich an Master-Studenten. Da die Vorlesung direkt auf dem Grundkurs WR aufbaut, sind auch Bachelor-Studenten herzlich wilkommen und können sich den Kurs als Zusatzleistung anrechnen lassen. Die Vorlesung behandelt ein über die Pflichtveranstaltungen hinausgehendes Teilgebiet der Stochastik, das eine Vielzahl praktischer Anwendungen ermöglicht. Die Inhalte der Veranstaltung sind so ausgerichtet, dass sich leicht Anknüpfungspunkte zu aktuellen Forschungsprojekten herstellen lassen, die an unserem Institut in Kooperation mit Partnern aus der Wissenschaft, Wirtschaft und der Industrie durchgeführt werden. Der Besuch der Vorlesung ist deshalb eine gute Vorbereitung zur Mitarbeit an diesen Projekten, sei es in Form von Praktika oder einer Abschlussarbeit.

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Inhalt

Im Fokus dieser Veranstaltung steht die stochastische Modellierung, statistische Analyse und Simulation von Punktmustern im d-dimensionalen euklidischen Raum. Die vorgestellten Techniken eröffnen Anwendungsmöglichkeiten für ein weites Spektrum räumlicher Datensätze. In Zusammenarbeit mit Partnern aus anderen wissenschaftlichen Disziplinen und Wirtschaftsunternehmen wird statistische Punktmusteranalyse allein an unserem Institut zur Zeit auf Fragestellungen aus so unterschiedlichen Bereichen wie Batterie-, Brennstoff- und Solarzellenforschung, Feststoffverfahrenstechnik für poröse und polykristalline Materialien, Biotechnologie, Telekommunikationsnetzwerke und Georisikoforschung angewendet.

Die Vorlesung gibt zunächst eine Einführung in die Theorie zufälliger Punktprozesse. Dabei werden unter anderem Homogentitätseigenschaften wie Stationarität und Isotropie diskutiert. Ferner werden grundlegende Klassen von Punktprozessmodellen, wie Poisson-, Cox- und Gibbs-Prozesse eingeführt. Darauf basierend lassen sich eine Vielzahl struktureller Eigenschaften von Punktmustern wie räumliche Inhomogenitäten oder Anziehungs- bzw. Abstoßungseffekte der Punkte charakterisieren.

Ein weiterer Aspekt der Vorlesung ist das Studium der sogenannten Palmverteilung eines zufälligen Punktprozesses, mit deren Hilfe die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen „aus der Sicht eines zufällig herausgenommenen Punktes“ berechnet werden können. Ein solches Ereignis könnte sein, dass in einer Kugel mit Radius 1 um einen zufällig herausgenommen Punktes kein weiterer Punkt des Punktprozesses liegt.

Darüber hinaus werden Punktmuster thematisiert, die neben den Lokationen der Punkte (zufällige) Markierungen besitzen, die z.B. die Größe, Form und Orientierung eines Partikels an dem jeweiligen Partikelschwerpunkt widerspiegeln können. Mit Hilfe von markierten Punktprozessmodellen lassen sich z.B. Einblicke in die räumliche Korrelationstruktur der Marken und deren zeitliche Veränderungen gewinnen. In dieser Veranstaltung wird das Instrumentarium der Punktprozessstatistik sowohl in seinen mathematischen Grundlagen als auch in seiner praktischen Umsetzung erarbeitet. Auf diese Weise sollen grundlegende Ansätze zur statistischen Analyse räumlicher Daten erlernt werden, die insbesondere aufgrund der anhaltend rasanten Entwicklung im Bereich der bildgebenden Verfahren von zunehmender praktischer Relevanz sind.

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Leistungsnachweise und Klausur

Am Ende des Semesters findet eine mündliche Prüfung über den Stoff der Vorlesung statt.

Zulassungsvoraussetzung ist das Erreichen von 50% der Übungspunkte.

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Vorlesungsskript

 Skript

Ein Vorlesungsskript zur generierung von Pseudozufallszahlen finden Sie unter diesem Link.

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Übungsblätter

 

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Literatur

[1] Last, G., Penrose, M.
Lectures on the Poisson Process, Vol. 7. Cambridge University Press, Cambridge 2017.

[2] Baddeley, A., Bárány, I., Schneider, R., Weil, W. (Hrsg.)
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[3] Benes, V., Rataj, J.
Stochastic Geometry. Kluwer, Boston 2004

[4] Chiu, S.N., Stoyan, D., Kendall, W.S., Mecke, J.
Stochastic Geometry and its Applications. J. Wiley & Sons, Chichester 2013

[5] Daley, D.J., Vere-Jones, D.
An Introduction to the Theory of Point Processes, Vol. I. Springer, New York 2005

[6] Daley, D.J., Vere-Jones, D.
An Introduction to the Theory of Point Processes, Vol. II. Springer, New York 2008

[7] Diggle, P.J.
Statistical Analysis of Spatial Point Patterns. Arnold, London 2003

[8] Gelfand, A. E., Diggle, P. J., Fuentes, M. and Guttorp, P. (Hrsg.) 
Handbook of Spatial Statistics. Chapman & Hall / CRC, Boca Raton 2010

[9] Illian, J., Penttinen, A., Stoyan, H., Stoyan, D.
Statistical Analysis and Modelling of Spatial Point Patterns. J. Wiley & Sons, Chichester 2008

[10] Kallenberg, O.
Foundations of Modern Probability. Springer, New York 2001

[11] Kendall, W. S. and Molchanov, I. (Hrsg.)
New Perspectives in Stochastic Geometry. Springer, Berlin 2010

[12] Kingman, J.F.C.
Poisson Processes. Oxford University Press, Oxford 1993

[13] Matheron, G.
Random Sets and Integral Geometry. J. Wiley & Sons, New York 1975

[14] Møller, J., Waagepetersen, R.P.
Statistical Inference and Simulation for Spatial Point Processes. Chapman & Hall / CRC, Boca Raton 2004

[15] Ohser, J. and Schladitz, K.
3D Images of Materials Structures - Processing and Analysis. Wiley-VCH, Weinheim 2009

[16] Ripley, B.D.
Spatial Statistics. J. Wiley & Sons, New York 1981

[17] Schmidt, V. (Hrsg.)
Stochastic Geometry, Spatial Statistics and Random Fields. Lecture Notes in Mathematics, vol. 2120, Springer, Cham 2015.                                               

[18] Schneider, R., Weil, W.
Stochastic and Integral Geometry. Springer, Heidelberg 2008

[19] Spodarev, E. (Hrsg.)
Stochastic Geometry, Spatial Statistics and Random Fields. Lecture Notes in Mathematics, vol. 2068, Springer, Berlin 2013.

[20] Stoyan, D., Stoyan, H.
Fractals, Random Shapes and Point Fields. J. Wiley & Sons, Chichester 1994